纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是五种数学证明妙招 ,常用于证明命题(命题是对某个什么的问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了或多或少或多或少领域(比如数学分析)的基础,很多有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法五种非常简单。可能亲戚朋友 儿但是证明某个命题对于自然数n都成立,那末:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里面的有1个 步骤。它们实际上原因分析分析,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。因此,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚朋友 儿选者n的倒下会原因分析分析n + 1的倒下,因此推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚朋友 儿来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(或多或少公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,须要算出1到50的累加,也能回家。于是高斯想出了里面的妙招 。天才也有被逼出来的么?)

亲戚朋友 儿的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,因此命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    那末,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。因此,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

因此,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有1个 计算机系统进程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求系统进程有有1个 也能达到的终止条件(base case)。比如下面的系统进程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在系统进程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。但是得到f(n),须要计算f(n-1);但是f(n-1),须要计算f(n-2)……直到f(1)。可能亲戚朋友 儿可能知道了f(1)的值,亲戚朋友 儿就能非要填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的系统进程实现。使用递归设计系统进程的完后 ,亲戚朋友 儿设置base case,并假设亲戚朋友 儿会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚朋友 儿只关注初始和衔接,而不须要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据行态实现的。正如亲戚朋友 儿里面所说的,计算f(n),须要f(n-1);计算f(n-1),须要f(n-2)……。亲戚朋友 儿在寻找到f(1)完后 ,会有或多或少空缺: f(n-1)的值哪些? f(n-2)的值是哪些? …… f(2)的值是哪些?f(1)的值是哪些? 亲戚朋友 儿的第有1个 什么的问题是f(n)是哪些,结果,或多或少什么的问题引出下有1个 什么的问题,再下有1个 什么的问题…… 每个什么的问题的解答都依赖于下有1个 什么的问题,直到亲戚朋友 儿找到第有1个 能非要回答的什么的问题: f(1)的值是哪些?

亲戚朋友 儿用栈来保存亲戚朋友 儿在探索过程中的什么的问题。C语言中,函数的调用可能是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,很多有很自然的,递归用栈来保存亲戚朋友 儿的“什么的问题” 。

亲戚朋友 儿假设栈向下增长。首先,亲戚朋友 儿调用f(50),那末当执行到

return f(n-1) + n; 

f(50)暂停执行,并记录当前的情形,比如n的值,当前执行到的位置。但是调用f(99),栈增加有1个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

因此返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(50),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(50)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也能非要自行手动实现栈。原本能非要得到更好的运行效率。

总结

数学归纳法

递归

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