纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是并有的是比较松散的数据特性。它有后后 节点(vertice),在后后 节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也出显过,.我通常在节点中储存数据。边表示有另2个节点之间的存在关系。在树中,.我用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是并有的是特殊的图,但限制性更强后后 。

原先的并有的是数据特性是很常见的。比如计算机网络,若果由后后 节点(计算机以前路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也须要理解为图,地铁站须要认为是节点。基于图有后后 经典的算法,比如求图带有另2个节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥大问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市带有二根河流过,河蕴带有另2个小岛。有七座桥桥连接河的两岸和有另2个小岛。送信员总想知道,有只能 有另2个依据,能不重复的走过7个桥呢?

(这名 大问题在后后 奥数教材中称为"一笔画"大问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的须要看作由7个边和有另2个节点构成的有另2个图:

这名 大问题最终被欧拉巧妙的除理。七桥大问题也启发了一门新的数学是科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,以前某个节点有的是起点以前终点,只能 连接它的边的数目须要为偶数个(从有另2个桥进入,再从原先桥被抛弃)。对于柯尼斯堡的七桥,以前有另2个节点都为奇数个桥,而最多只能有有另2个节点为起点和终点,越多 不以前一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。有另2个图的所有节点构成有另2个集合[$V$]。有另2个边须要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即有另2个节点。以前[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,只能 图是有向的(directed)。有序的边须要理解为单行道,只能沿有另2个方向行进。以前[$(v_1, v_2)$]无序,只能 图是无向的(undirected)。无序的边须要理解成双向须要行进的道路。有另2个无序的边须要看作连接相同节点的有另2个反向的有序边,越多 无向图须要理解为有向图的并有的是特殊情况汇报。

(七桥大问题中的图是无向的。城市中的公交线路须后后无向的,比如存在单向环线)

图的有另2个路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也若果说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为有另2个节点。路径上端的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,.我会在选则某个路径,来从A站到达B站。原先的路径以前有不止二根,.我往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情况汇报,来选则二根最佳的路线。以前存在二根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,只能 认为该图中存在环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中存在环路。

 

找到二根环路

以前从每个节点,到任意有另2个其它的节点,有的是二根路径一句话,只能 图是连通的(connected)。对于有另2个有向图来说,原先的连通称为强连通(strongly connected)。以前有另2个有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,只能 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

以前将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原先的图以前是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间只能 路径相连。

图的实现

并有的是简单的实现图的依据是使用二维数组。让数组a的每一行为有另2个节点,该行的不同元素表示该节点与后后 节点的连接关系。以前[$(u, v) \in E$],只能 a[u][v]记为1,若果为0。比如下面的有另2个包带有另2个节点的图:

 

须要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

这名 实现依据所存在的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而没法快了 了 增多。以前边有的是很密集,只能 越多 数组元素记为0,只能稀疏的后后 数组元素记为1,越多 并有的是很经济。

更经济的实现依据是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,.我建立有另2个链表。对于任意节点k,以前有[$(m, k) \in E$],就将该节点塞进去到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准依据。比如下面的图,

 

须要用如下的数据特性实现:

 

左侧为有另2个数组,每个数组元素代表有另2个节点,且指向有另2个链表。该链表包带有该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表须要分为两偏离 。邻接表所存在的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组偏离 储存节点信息,存在[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,存在[$|E|$]的空间,即边的总数。在后后 错综复杂的大问题中,定点和边还以前有后后 的附加信息,.我须要将什么附加信息储存在相应的节点以前边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上端的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是并有的是很简单的数据特性。图的组织依据比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法错综复杂度。我将在以前介绍后后 图的经典算法。

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